Question

18．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论：
 ①BP=CM； ②△ABQ≌△CAP； ③∠CMQ的度数不变，始终等于60°．其中正确的结论是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 易证△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易证∠CQM≠60°．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
根据题意得：AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠CAP}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），（2）正确；
∴∠AQB=∠CPA，
∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，
∴∠AMP=∠B=60°，
∴∠QMC=60°，（3）正确；
∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，
∴∠CQM≠60°，
∴CQ≠CM，
∵BP=CQ，
∴CM≠BP，（1）错误．
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABQ≌△CAP是解题的关键．