Question

（2012•三明）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=α，∠B=β，
且2α+β=90°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA=6，sinβ=

3

5

，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，则可得出∠A=∠ACO，从而利用外角的知识可得∠BOC=2α，再由2α+β=90°可判断出∠OCB=90°，继而可判断出BC是⊙O的切线．
（2）由（1）可得OC=OA=6，OC⊥BC，利用sinβ=

3

5

=

OC

OB

可求出OB的长度，在RT△OBC中利用勾股定理可得出BC的长度．

解答：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=α，
∵∠BOC=∠A+∠ACO=2α，
∴∠BOC+∠B=2α+β=90°，
∴∠BCO=90°，即OC⊥BC，
∵C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：由（1）可得，OC=OA=6，OC⊥BC，
在Rt△BOC中，sinβ=

OC

OB

，
∵sinβ=

3

5

，
∴

3

5

=

6

OB

，
∴OB=10，
∴BC=

OB2-OC2

=

102-62

=8．

点评：此题属于圆的综合题目，本题的第一问解法不止一种，同学们可以发散思维，多思考几种证明方法，在第二问的解答中，关键是利用sinβ的值求出OB的长度，有一定难度．