Question

（2013•乐山模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，-6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（　　）

• A．63
• B．31

  1

  2

• C．32
• D．30

Answer 1

分析：当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大，易证△OBD∽△PBC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OD的长，则AD的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解．

解答：解：当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大．
连接PC，则∠CPB=90°，
在直角△BCP中，BP=

BC2-PC2

=

132-52

=12．
∵∠CPB=90°．
∴∠DOB=∠CPB=90°
又∵∠DBP=∠CBP，
∴△OBD∽△PBC，
∴

OD

PC

=

OB

BP

=

6

12

=

1

2

，
∴OD=

1

2

PC=

5

2

．
∴AD=OD+OA=

5

2

+8=

21

2

，
∴S_△ABD=

1

2

AD•OB=

1

2

×

21

2

×6=31

1

2

．
故选B．

点评：本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解△ADB的面积最大的条件是关键．