Question

如图，已知抛物线y=x²-2x+n与x轴交于不同的两点A，B，其顶点是C，D是抛物线的对称轴与x轴的交点．
（1）求实数n的取值范围．
（2）求顶点C的坐标；
（3）求线段AB的长；
（4）若直线y=

2

x+1分别交x轴于E，交y轴于F，问△BDC与△EOF是否有可能全等？如果有可能全等请给出证明；如果不可能全等请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，因此令y=0，得出的方程的△＞0，据此可求出n的取值范围．
（2）本题用公式法或配方法求解均可．
（3）可求出A、B的横坐标，进而可得出BA的长（也可用韦达定理求解）．
（4）先根据直线的解析式求出OE，OF的长，然后看这两个直角三角形的对应边能否对应相等即可．

解答：解：（1）令y=0，则有：x²-2x+n=0，
依题意有：△=4-4n＞0，
∴n＜1．
由于抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，
因此0＜n＜1．

（2）y=x²-2x+n=（x-1）²+n-1，
∴C（1，n-1）．

（3）令y=0，x²-2x+n=0，
解得x=1+

1-n

，x=1-

1-n

，
∴B（1+

1-n

，0），A（1-

1-n

，0），
∴AB=2

1-n

．

（4）易知：E（-

2

2

，0），F（0，1），
∴OE=

2

2

，OF=1．
由（2）（3）可得BD=

1-n

，CD=1-n，
①当OE=CD时，1-n=

2

2

，

1-n

=

2 2

≠1，因此BD≠OF，
∴两三角形不可能全等．
②当OE=BD时，

1-n

=

2

2

，1-n=

1

2

≠1，因此CD≠OF，
∴两三角形不全等．
综上所述，△BDC与△EOF不可能全等．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，全等三角形的判定等知识点．