Question

如图，在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆

AB

上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE•AC+BE•BD=

 

．

Answer 1

分析：连接AD、BC构造出两个直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，进行整式变形即可求解．

解答：解：连接BC，AD，
根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根据相交弦定理，得AE•CE=DE•EB
∴AE•AC+BE•BD=AC²-AC•CE+BD²-BD•DE
=100-BC²+100-AD²-AC•CE-BD•DE
=200-BE²+CE²-AE²+DE²-AC•CE-BD•DE
=200+（DE+BE）（DE-BE）+（CE+AE）（CE-AE）-AC•CE-BD•DE
=200+BD（DE-BE）+AC（CE-AE）-AC•CE-BD•DE
=200-AE•AC-BE•BD，
∴AE•AC+BE•BD=100．

点评：此题要熟练运用相交弦定理、勾股定理以及整式的变形整理．