Question

如图，是一个棱长分别为2、3、4的长方体，一只蜘蛛在顶点A处，一只小昆虫在顶点B处，则蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短路线的长是（ ）

A．
B．7
C．
D．6

Answer 1

【答案】分析：首先将长方体沿AD，CD，EF，BF剪开，向左翻折，使面ADFE与面CDFB在同一个平面内，连接AB或将长方体沿AD，AE，EG剪开，向上翻折，使面ADFE和面EFBG在同一个平面内，连接AB．然后分别在Rt△ABC中与Rt△ABD中，利用勾股定理求得AB的长，比较即可求得需要爬行的最短路程．
解答：解：将长方体沿AD，CD，EF，BF剪开，向左翻折，使面ADFE与面CDFB在同一个平面内，连接AB．（如图1）
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=7，BC=DF=2．
由勾股定理，得AB²=BC²+AC²=2²+7²=53．
则AE=．
将长方体沿AD，AE，EG剪开，向上翻折，使面ADFE和面EFBG在同一个平面内，连接AB．（如图2）
在Rt△ABD中，AD=4，BD=2+3=5．
由勾股定理，得AB²=AD²+BD²=4²+5²=41．
∴AB=
将长方体沿AD，DF，BF剪开，向右翻折，使面ADCH和面CDFB在同一个平面内，连接AB．（如图3）
在Rt△ABH中，AH=3，BH=2+4=6．
由勾股定理，得AB²=AD²+BD²=3²+6²=45．
∴AB=3
∵＜3＜，
∴蚂蚁需要爬行的最短路程是．
故选C．

点评：此题考查了最短路径问题．解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．