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【题目】(2016宁夏第26题)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,动点Q从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿AB向点B移动;同时点P从点B出发,仍以每秒1个单位的速度,沿BC向点C移动,连接QP,QD,PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0<x3),解答下列问题:

(1)设QPD的面积为S,用含x的函数关系式表示S;当x为何值时,S有最大值?并求出最小值;

(2)是否存在x的值,使得QPDP?试说明理由.

【答案】(1)、S=(x2)2+4;x=2,最小值为4;(2)、存在,理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)、可用x表示出AQ、BQ、BP、CP,从而可表示出SADQ、SBPQ、SPCD的面积,则可表示出S,再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值,并能求得其最小值;(2)、用x表示出BQ、BP、PC,当QPDP时,可证明BPQ∽△CDP,利用相似三角形的性质可得到关于x的方程,可求得x的值.

试题解析:(1)、四边形ABCD为矩形, BC=AD=4,CD=AB=3, 当运动x秒时,则AQ=x,BP=x,

BQ=ABAQ=3x,CP=BCBP=4x,

SADQ=ADAQ=×4x=2x,SBPQ=BQBP=(3x)x=xx2,SPCD=PCCD=(4x)3=6x,

又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12,

S=S矩形ABCDSADQSBPQSPCD=122xxx2(6x)=x22x+6=(x2)2+4,

即S=(x2)2+4, S为开口向上的二次函数,且对称轴为x=2,

当0<x<2时,S随x的增大而减小,当2<x3时,S随x的增大而增大,

又当x=0时,S=5,当S=3时,S=,但x的范围内取不到x=0,

S不存在最大值,当x=2时,S有最小值,最小值为4;

(2)、存在,理由如下:

由(1)可知BQ=3x,BP=x,CP=4x, 当QPDP时,则BPQ+DPC=DPC+PDC,

∴∠BPQ=PDC,且B=C, ∴△BPQ∽△PCD,

=,即=,解得x=(舍去)或x=

当x=时QPDP.

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