Question

4．已知一个菱形的两个顶点与一个正方形的两个顶点重合，并且这两个四边形没有公共边，菱形的面积为24cm²，正方形的面积为32cm²，则菱形的边长为$\sqrt{26}$或5cm．

Answer 1

分析 ①如图1，由正方形ABCD的面积为32cm²，得到BC=4$\sqrt{2}$cm，求得EF=6$\sqrt{2}$，连接EF交BC于O，根据勾股定理得到菱形的边长为$\sqrt{26}$cm；②如图2，由正方形ABCD的面积为32cm²，得到BD=8cm，求得EF=6，连接EF交BC于O，根据勾股定理得到菱形的边长为5cm．

解答 解：①如图1，∵正方形ABCD的面积为32cm²，
∴BC=4$\sqrt{2}$cm，
∵菱形EBFC面积为24cm²，
∴$\frac{1}{2}$EF•BC=24，
∴EF=6$\sqrt{2}$，
连接EF交BC于O，
∴EF⊥BC，BO=CO=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，OE=$\frac{1}{2}$EF=3$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴菱形的边长为$\sqrt{26}$cm；
②如图2，∵正方形ABCD的面积为32cm²，
∴BD=8cm，
∵菱形EBFC面积为24cm²，
∴$\frac{1}{2}$EF•BC=24，
∴EF=6，
连接EF交BC于O，
∴EF⊥BC，BO=CO=$\frac{1}{2}$BD=4，OE=$\frac{1}{2}$EF=3，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}+O{E}^{2}}$=5，
∴菱形的边长为5cm；
综上所述，菱形的边长为$\sqrt{26}$或5．

点评 本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．