分析 (1)先证明△ACF≌△ACE,从而得到CF=CE,然后再证明△ACE为等腰三角形,则CE=AC=4$\sqrt{2}$;
(2)当∠AFE=90°,可证明△ADF≌△FCE,则FC=AD=4,CE=DF=CD+FC=8,从而可求得a、b的值,同理当∠AEF=90°时,也可求得a、b的值.
解答 解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠ACF=∠ACE,
∵∠EAF被对角线AC平分,
∴∠CAF=∠CAE,
在△ACF和△ACE中,$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠ACE}\\{AC=AC}\\{∠CAF=∠CAE}\end{array}\right.$,
∴△ACF≌△ACE,
∴CF=CE,
∵CE=a,CF=b,
∴a=b,
∵△ACF≌△ACE,
∴∠AEF=∠AFE,
∵∠EAF=45°,
∴∠AEF=∠AFE=67.5°,
∵CE=CF,∠ECF=90°,∠AEC=∠AFC=22.5°,
∵∠CAF=∠CAE=22.5°,
∴∠CAE=∠CEA,
∴CE=AC=4$\sqrt{2}$,即:a=b=4$\sqrt{2}$.
(2)当△AEF是直角三角形时,
①如图所示:
∵∠AFE=90°,
∴∠AFD+∠CFE=90°,
∵∠CEF+∠CFE=90°,
∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°,∠EAF=45°,
∴∠AEF=45°=∠EAF∴AF=EF,
在△ADF和△FCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠FCE}\\{∠AFD=∠CEF}\\{AF=EF}\end{array}\right.$,
∴△ADF≌△FCE,
∴FC=AD=4,CE=DF=CD+FC=8,
∴a=8,b=4.
②当∠AEF=90°时,同①的方法得,CF=4,CE=8,
∴a=4,b=8.
点评 本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定,熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
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A. | 4acm2 | B. | (4a+16)cm2 | C. | 8acm2 | D. | (8a+16)cm2 |
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