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如图,在⊙O中,AB为直径,AD为弦,过D点的直线与AB的延长线交于点C.
(1)若∠A=25°,∠C=40°,求证:CD是⊙O的切线;
(2)当∠A与∠C满足什么关系时,直线CD与⊙O相切.请直接写出你得到的结论;
(3)若CD是⊙O的切线,且AB=14,BC:DC=3:4,求OC的长.

【答案】分析:(1)连接OD,根据三角形外角性质求出∠AOC,根据三角形内角和定理求出∠OAC即可;
(2)根据2∠A+∠C=90°求出∠C=30°,根据三角形的内角和定理求出∠OAC的度数即可;
(3)设AC=4x,FC=3x,由切割线定理得到(4x)2=3x(3x+14),求出方程的解即可.
解答:解:(1)证明:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠B=∠ADO=25°,
∴∠DOC=25°+25°=50°,
∴∠ODC=180°-∠C-∠DOC=90°,
∴CD是⊙O的切线.

(2)当2∠A+∠C=90°时,直线CD与⊙O相切.

(3)设DC=4x,BC=3x,
由切割线定理得:(4x)2=3x(3x+14),
∴x=6,
∴OC=3x+7=25,
答:OC的长是25.
点评:本题主要考查对三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,三角形的外角性质,切线的性质和判定,解一元二次方程等知识点的连接和掌握,熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.
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