Question

已知坐标平面上的线段AB及点P，任取AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．
（1）如图所示，已知长度为2个单位的线段MN在x轴上，M点的坐标为（1，0），求点P（1，1）到线段MN的距离d（P→MN）；
（2）已知坐标平面上点G到线段DE：y=x（0≤x≤3）的距离d（G→DE）=，且点G的横坐标为1，试求点G的纵坐标．

Answer 1

解：（1）∵M点的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，1），
根据定义可得PM就是点P到线段MN的距离．
∴d（P→MN）=1．

（2）在坐标平面内作出线段DE：y=x（0≤x≤3），
∵点G的横坐标为1，
∴点G在直线x=1上，设直线x=1交x轴于点H，交DE于点K．
①如图，过点G₁作G₁F⊥DE于点F，则G₁F就是点G₁到线段DE的距离．
∵线段DE：y=x（0≤x≤3），
∴△G₁FK，△DHK均为等腰直角三角形，
∵d（G₁→DE）=，
∴KF=，由勾股定理得GK=2，
又∵KH=OH=1，
∴HG₁=3．
即G₁的纵坐标为3；
②如图，过点O作G₂O⊥OE交直线x=1于点G₂，由题意知△OHG₂为等腰直角三角形，
∵OH=1，
∴G₂O=．
∴点G₂同样是满足条件的点．
∴点G₂的纵坐标为-1．
综上，点G₂的纵坐标为3或-1．
分析：（1）由M点的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，1），根据定义可得PM就是点P到线段MN的距离．
（2）首先可得点G在直线x=1上，设直线x=1交x轴于点H，交DE于点K．然后分别从①如图，过点G₁作G₁F⊥DE于点F，②如图，过点O作G₂O⊥OE交直线x=1于点G₂，去分析求解即可求得答案．
点评：此题属于一次函数的综合题，考查了点到直线的距离、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．