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如图,已知正方形ABCD的各边中点分别为E、F、G、H.点M为直线BC上一动点,以线段EM为边长作正方形EMNP.
(1)如图①,当M点在点B的左侧时,请你判断FM和HP有何数量关系?点P是否在直线FH上?
(2)如图②,当M点在BC边上时,请你判断FM和HP有何数量关系?点P是否在直线FH上?
(3)如图③,当M点在点C的右侧时,请你判断FM和HP有何数量关系?点P是否在直线FH上?请分别写出各小题的结论,并从三小题中任选一题证明你的结论.
分析:(1)连接EF、EH,根据正方形的性质可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形,然后求出∠FEH=90°,再根据同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH,然后利用“边角边”证明△MEF和△PEH全等,根据全等三角形对应边相等即可得证,再根据全等三角形对应边上的高相等可得点E到PH的距离等于点E到MF的距离,也就是正方形ABCD边长的一半,所以点P在直线FH上;
(2)连接EF、EH,根据正方形的性质可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形,然后求出∠FEH=90°,再根据同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH,然后利用“边角边”证明△MEF和△PEH全等,根据全等三角形对应边相等即可得证,再根据全等三角形对应边上的高相等可得点E到PH的距离等于点E到MF的距离,也就是正方形ABCD边长的一半,所以点P在直线FH上;
(3)连接EF、EH,根据正方形的性质可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形,然后求出∠FEH=90°,再根据同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH,然后利用“边角边”证明△MEF和△PEH全等,根据全等三角形对应边相等即可得证,再根据全等三角形对应边上的高相等可得点E到PH的距离等于点E到MF的距离,也就是正方形ABCD边长的一半,所以点P在直线FH上.
解答:解:(1)FM=HP,P在直线FH上.
理由如下:如图,连接EF、EH,
∵E、F、H分别是边AB、BC、AD的中点,
∴AE=EB=BF=AH,
∴△AEH≌△BEF,且都是等腰直角三角形,
∴EF=EH,∠AEH=∠BEF=45°,
∴∠FEH=180°-45°×2=90°,
又∵∠MEF+∠FEP=90°,∠FEH=∠PEH+∠FEP=90°,
∴∠MEF=∠PEH,
在△MEF和△PEH中,
ME=PE
∠MEF=∠PEH
EF=EH

∴△MEF≌△PEH(SAS),
∴FM=HP,
∴点E到HP与点E到FM的距离相等,
∵点E到FM的距离等于BE,即正方形边长的一半,
∴点E到HP的距离等于正方形ABCD的边长的一半,
∴点P在直线FH上;


(2)(3)的证明与(1)完全相同.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,作出辅助线构造出全等三角是解题的关键,在几何中,证明两边相等,通常利用两边所在的三角形全等进行证明,这是常用方法,希望同学们熟练掌握并灵活应用.
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a
a
时,S△FGE=S△FBE;当CE=
2a+
2
a
2
或EC=
2a-
2
a
2
2a+
2
a
2
或EC=
2a-
2
a
2
 时,S△FGE=3S△FBE

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