Question

如图，已知点A（0，2），直线l：y=-x-2与x轴交于D点，与y轴交于E点，B是直线l上的一个动点，以AB为直径的圆记作⊙M．
（1）判断点D是否在⊙M上，并说明理由；
（2）当⊙M与x轴相切时，求B点的坐标；
（3）若△ABE为等腰三角形，求出所有符合条件的圆心M的坐标．

Answer 1

分析：（1）点D在圆M上，理由为：连接AB，AD，DM，如图1所示，对于直线l，求出D与E坐标，确定出OD=OE=2，由OA=2，利用勾股定理得到AD=DE，根据三角形AOD与三角形DOE都为等腰直角三角形，可得出AD垂直于DE，在直角三角形ABD中，由斜边上的中线等于斜边的一半得到DM为直径AB的一半，即D到圆心距离等于半径，可得出D在圆M上；
（2）连接MD，AD，由∠ADB为直角，利用90度圆周角所对的弦为直径得到D在圆M上，由圆M与x轴相切，得到D为切点，进而得到BA垂直于y轴，即可确定出此时B的坐标；
（3）由B在直线y=-x-2上，设B（a，-a-2），分三种情况考虑：①A为顶点时，AB=AE，由AE长求出AB的长，确定出B的坐标，由A与B的坐标，利用线段中点坐标公式求出M坐标即可；②B为顶点时，BA=BE，此时B与D重合，求出B的坐标，利用线段中点坐标公式即可求出此时M的坐标；③E为顶点时，AE=BE，由A、B、E坐标，利用两点间的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出B坐标，利用线段中点坐标公式即可确定出M的坐标．

解答：
解：（1）点D在圆M上，理由为：连接AB，AD，DM，如图1所示，
对于直线l：y=-x-2，令x=0，求出y=-2；令y=0，求出x=-2，
∴D（-2，0），E（0，-2），又A（0，2），
∴OD=OE=OA=2，
根据勾股定理得：AD=ED=2

2

，AE=AO+OE=4，
∵AD²+DE²=AE²，△AOD与△DOE都为等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠ADO+∠EDO=90°，
∴在Rt△ABD中，DM=

1

2

AB，
则D在圆M上；
（2）连接MD，AD，由直线y=-x-2，可得OD=OE=2，又OA=2，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵AB为圆O的直径，
∴点D在圆M上，
∵圆M与x轴相切，
∴D为切点，
∴MD⊥x轴，即∠MDA+∠ADO=90°，
∵∠ADO=45°，
∴∠MDA=45°，
∵MA=MD，
∴∠MAD=∠MDA=45°，
∴∠DAE=45°，
∴∠MAD+∠DAO=90°，
∴BA⊥y轴，
∴AB=2OD=4，
则B（-4，2）；
（3）设B坐标为（a，-a-2），
分三种情况考虑：
①当A为顶点时，AB=AE，B坐标为（-4，2），此时M坐标为（-2，2）；
②当B为顶点时，BA=BE，B与D重合，B坐标为（-2，0），此时M坐标为（-1，1）；
③当E为顶点时，BE=AE，可得BE²=AE²，即a²+（-a-2+2）²=4²，解得：a₁=-2

2

，a₂=2

2

，
∴B坐标为（-2

2

，2

2

-2）或B（2

2

，-2

2

-2），此时M（-

2

，

2

）或M（

2

，-

2

）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，圆周角定理，两点间的距离公式，线段中点坐标公式，勾股定理及逆定理，一次函数与坐标轴的交点，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要注意不重不漏，考虑问题要全面．