分析 (1)如图①中,设AD=BC=a,则AB=CD=$\sqrt{2}$a.通过计算得出AB=BP=$\sqrt{2}$a,由此即可证明;
(2)如图②中,作Q关于BC的对称点Q′,连接AQ′交BC于G,此时△AQG的周长最小.设AD=BC=QD=a,则AB=CD=$\sqrt{2}$a,可得CQ=CQ′=$\sqrt{2}$a-a,由CQ′∥AB,推出$\frac{CG}{GB}$=$\frac{CQ′}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$;
(3)如图③中,作TH∥AB交NM于H,交BC于K.由S△MNT=$\frac{1}{2}$•TH•CK+$\frac{1}{2}$•TH•BK=$\frac{1}{2}$HT•(KC+KB)=$\frac{1}{2}$HT•BC=$\frac{1}{2}$HT,利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题;
解答 (1)证明:如图①中,设AD=BC=a,则AB=CD=$\sqrt{2}$a.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,
∵PC=AD=BC=a,
∴PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$a,
∴BA=BP.
(2)解:如图②中,作Q关于BC的对称点Q′,连接AQ′交BC于G,此时△AQG的周长最小.
设AD=BC=QD=a,则AB=CD=$\sqrt{2}$a,
∴CQ=CQ′=$\sqrt{2}$a-a,
∵CQ′∥AB,
∴$\frac{CG}{GB}$=$\frac{CQ′}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
(3)证明:如图③中,作TH∥AB交NM于H,交BC于K.
由(2)可知,AD=BC=1,AB=CD=$\sqrt{2}$,DP=CF=$\sqrt{2}$-1,
∵S△MNT=$\frac{1}{2}$•TH•CK+$\frac{1}{2}$•TH•BK=$\frac{1}{2}$HT•(KC+KB)=$\frac{1}{2}$HT•BC=$\frac{1}{2}$HT,
∵TH∥AB∥FM,TF=TB,
∴HM=HN,
∴HT=$\frac{1}{2}$(FM+BN),
∵BN=PM,
∴HT=$\frac{1}{2}$(FM+PM)=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{1}{2}$•(1+$\sqrt{2}$-1)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴S△MNT=$\frac{1}{2}$HT=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=定值.
点评 本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、梯形的中位线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造梯形的中位线解决问题,属于中考压轴题.
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A. | ③→②→①→④ | B. | ③→④→①→② | C. | ①→②→④→③ | D. | ①→④→③→② |
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