Question

【题目】已知点A、B（AB＜2），现没有直尺，只有一把生锈的圆规，仅能做出半径为1的圆，能否在平面内找到一点F，使得△ABF是等边三角形？

小天经过探究完成了以下的作图步骤：

第一步：分别以点A、B为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C；

第二步：以C为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点D、E；

第三步：分别以D、E为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C、F，

（1）请将图补充完整，并作出△ABF．

（2）以下说法中，

①点C在线段AB的垂直平分线上；

②△CAD和△CBE都是等边三角形；

③点C在线段AF的垂直平分线上；

④△ABF是等边三角形，

正确的有　 　．（填上所有正确的序号）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①②④．

【解析】

（1）按第三步作图，两圆交于点C，F，连结AF，BF，AB，得到△ABF是等边三角形；

（2）由作图步骤及圆的性质可对结论判断即可．

解：（1）如图，连结AF，BF，AB，则△ABF是等边三角形；

（2）∵分别以点A、B为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C，

∴AC＝BC，

∴点C在线段AB的垂直平分线上，

故①正确；

∵分别以点A、B为圆心，1为半径作圆，两圆交于点C；以C为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点D、E；

∴AD＝AC＝DC＝1，BC＝CE＝BE＝1，

∴△CAD和△CBE都是等边三角形，

故②正确，

由作图可知AC＝1，而CF≠1，

∴点C不在线段AF的垂直平分线上，

故③错误；

由①知点C在线段AB的垂直平分线上，

∴点F在线段AB的垂直平分线上，

∴AF＝BF，

同理AB＝BF，

∴△ABF是等边三角形，

故④正确．

故答案为：①②④．