Question

如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC与BD相等，则四边形HEFG是

菱

形．

Answer 1

分析：四边形HEFG为菱形，理由为：由E和F分别为AB与BC的中点，得到EF为三角形ABC的中位线，理由中位线定理得到EF平行与AC，且等于AC的一半，同理得到HG平行于AC，且等于AC的一半，可得出EF与HG平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到HEFG为平行四边形，再由EH等于BD的一半，EF等于AC的一半，且BD=AC，得到邻边EH=EF，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

解答：解：四边形HEFG为菱形，理由为：
证明：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=

1

2

AC，EF∥AC，
∵H、G分别为AD、DC的中点，
∴HG为△ADC的中位线，
∴HG=

1

2

AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形HEFG为平行四边形，
又E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH=

1

2

BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形HEFG为菱形．
故答案为：菱

点评：此题考查了中点四边形，涉及的知识有：三角形的中位线定理，平行四边形及菱形的判定，熟练掌握中位线定理是解本题的关键．