Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN、AC，N与边AD交于点E．

（1）求证：AM=AN；

（2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=ACAE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△BAM≌△DAN，根据全等三角形的性质证明；

（2）证明△AMC∽△AEN，根据相似三角形的性质证明．

详解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴ AB=AD，∠BAD=90°，

又∵∠MAN=90°，∴∠BAM=∠DAN．

在△BAM和△DAN中，，

∴△BAM≌△DAN，∴AM=AN；

（2）四边形ABCD是正方形，∴∠CAD=45°．

∵∠CAD=2∠NAD，∠BAM=∠DAN，

∴∠MAC=45°，∴∠MAC=∠EAN，

又∠ACM=∠ANE=45°，∴△AMC∽△AEN，

∴=，∴ANAM=ACAE，∴AM2=ACAE．