【题目】如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是 AC 边上一动点, CE⊥BD 于 E.
(1)如图(1),若 BD 平分∠ABC 时,①求∠ECD 的度数;②求证:BD=2EC;
(2)如图(2),过点 A 作 AF⊥BE 于点 F,猜想线段 BE,CE,AF 之间的数量关系并证明你的猜想.
【答案】(1)①22.5°;②见解析;(2) BE﹣CE=2AF,理由见解析.
【解析】
(1)①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45,再利用角平分线的定义解答即可;
②延长CE交BA的延长线于点G得出CE=GE,再利用AAS证明ΔABD≌ΔACG,利用全等三角形的性质解答即可;
(2)过点A作AH⊥AE,交BE于点H,证明ΔABH≌ΔACE,进而得出CE=BH,利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可.
解:(1)①∵在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠CBA=45°,
∵BD 平分∠ABC,
∴∠DBA=22.5°,
∵CE⊥BD,
∴∠ECD+∠CDE=90°,∠DBA+∠BDA=90°,
∵∠CDE=∠BDA,
∴∠ECD=∠DBA=22.5°;
②延长 CE 交 BA 的延长线于点 G,如图 1:
∵BD 平分∠ABC,CE⊥BD,
∴CE=GE,
在△ABD 与△ACG 中,
,
∴△ABD≌△ACG(AAS),
∴BD=CG=2CE;
(2)结论:BE﹣CE=2AF.
过点 A 作 AH⊥AE,交 BE 于点 H,如图 2:
∵AH⊥AE,
∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE,
∴∠BAH=∠CAE,
在△ABH 与△ACE 中,
∴△ABH≌△ACE(ASA),
∴CE=BH,AH=AE,
∴△AEH 是等腰直角三角形,
∴AF=EF=HF,
∴BE﹣CE=2AF.
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【题目】仔细阅读下列材料.
“分数均可化为有限小数或无限循环小数”,反之,“有限小数或无限小数均可化为分数”.
例如:=1÷4=0.25;==8÷5=1.6;=1÷3=,反之,0.25== ;1.6===.那么,怎么化成分数呢?
解:∵×10=3+, ∴不妨设=x,则上式变为10x=3+x,解得x=,即=;
∵=,设=x,则上式变为100x=2+x,解得x=,
∴==1+x=1+=
⑴将分数化为小数:=______,=_______;
⑵将小数化为分数:=______,=_______;
⑶将小数化为分数,需要写出推理过程.
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【题目】在上海的小明一家将于5月1日到苏州进行自驾游,准备将行程分为上午和下午,上午的备选地点为:A-重元寺、B-苏州乐园、C-观前街,下午的备选地点为:D-李公堤、E-金鸡湖摩天轮公园.
(1)请用画树状图或列表的方法写出小明家所有可能的游玩方式(用字母表示即可);
(2)求小明一家恰好整天在工业园区游玩的概率.(提示:重元寺、李公堤、金鸡湖摩天轮公园在工业园区)
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【题目】如图,CE⊥AB,BD⊥AC,垂足分别为E、D,BD、CE交于点O,AB=AC,∠B=20°,则∠AOD=( )
A. 20°B. 40°C. 50°D. 55°
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【题目】如图所示,△ABC中,AB=BC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于F.
⑴若∠AFD=155°,求∠EDF的度数;
⑵若点F是AC的中点,求证:∠CFD=∠B.
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【题目】阅读下面的文字,解答问题
大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用﹣1来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
又例如:<<,即2<<3,
∴的整数部分为2,小数部分为(﹣2)
请解答:
(1)整数部分是 ,小数部分是 .
(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求|a﹣b|+的值.
(3)已知:9+=x+y,其中x是整数,且0<y<1,求x﹣y的相反数.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,过点O作OD⊥BC于D,下列三个结论: ①∠AOB=90°+;②当∠C=90°时,E,F分别是AC,BC的中点;③若OD=a,CE+CF=2b,则S△CEF=ab,其中正确的是( )
A. ①②③B. ①③C. ①②D. ①
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【题目】2017年9月第18号台风“泰利”给某地造成严重影响.草根救援队驾若冲锋舟沿一条东西方向的河流营救灾民,早晨从地出发,晚上最后到达地,约定向东为正方向,当天航行依次记录如下(单位:千米) 问:
(1)地在地的东面,还是西面?与地相距多少千米?
(2)若冲锋舟每千米耗油0.5升,每升汽油需6.8元,问冲锋舟工作一天需汽油费多少元?
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【题目】如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD=α,∠BCD=180°-α,BD 平分∠ABC.
(1)如图,若α=90°,根据教材中一个重要性质直接可得 DA=CD,这个性质是 ;
(2)问题解决:如图,求证:AD=CD;
(3)问题拓展:如图,在等腰△ABC 中,∠BAC=100°,BD 平分∠ABC,求证:BD+AD=BC.
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