Question

如图，在△CAB、△DEF中，CA=CB，DE=DF，∠ACB=∠EDF=90°，若把△DEF的顶点E放在AB的中点处并绕E旋转，交直线CA、CB于M、N，连CE、MN．
                                               
（1）若△DEF绕E旋转到如图1所示的位置，则CN、CM、MN、CE之间有何确定的数量关系？
（2）若△DEF绕E旋转到如图2位置，（1）中的结论还成立吗？请加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在BC上截取BG=CM，连接EG，如图1，根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，∠DEF=45°，再由E为AB的中点得CE=AE=BE，则∠ACE=45°，BC=

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CE，于是可利用“SAS”证明△MCE≌△GBE，得到EM=EG，∠1=∠2，接着证明∠4=45°，则根据“SAS”可判断△ENM≌△ENG，得到MN=GN，所以•BC=CN+NG+BG=CN+MN+CM，则有CN+MN+CM=

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CE；
（2）在AC上截取AH=CN，连接EH，如图2，易证得△AHE≌△CNE，得到EH=EN，∠AEH=∠CEN，由于∠CEN=∠CEM+∠MEN=∠CEM+45°，∠AEH+∠HCE=90°，得到∠HEC+∠CNM=90°-（∠CEM+45°）+∠CEM=45°，即有∠HEM=∠NEM，于是可根据“SAS”证明△EMH≌△EMN，得到MH=MN，则CH=MH-CM=MN-CM，所以AC=AH+CH=CN+MN-CM，由此得到CN+MN-CM=

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CE．

解答：解：（1）CN+MN+CM=

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CE．理由如下：
在BC上截取BG=CM，连接EG，如图1，
∵CA=CB，DE=DF，∠ACB=∠EDF=90°，
∴△ACB和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，∠DEF=45°，
∵E为AB的中点，
∴CE=AE=BE，
∴∠ACE=45°，BC=

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CE，
在△MCE和△GBE中，

CM=BG ∠MCE=∠B CE=BE

，
∴△MCE≌△GBE（SAS），
∴EM=EG，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=45°，
∴∠3+∠2=45°，
∴∠4=45°，
在△ENM和△ENG中，

EN=EN ∠NEM=∠NEG EM=EG

，
∴△ENM≌△ENG（SAS），
∴MN=GN，
∴BC=CN+NG+BG=CN+MN+CM，
∴CN+MN+CM=

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CE；
（2）（1）中的结论不成立，CN+MN-CM=

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CE．理由如下：
在AC上截取AH=CN，连接EH，如图2，
在△AHE和△CNE中，

AH=CN ∠A=∠ECN AE=CE

，
∴△AHE≌△CNE（SAS），
∴EH=EN，∠AEH=∠CEN，
而∠CEN=∠CEM+∠MEN=∠CEM+45°，
∠AEH+∠HCE=90°，
∴∠HEC+∠CEM=90°-（∠CEM+45°）+∠CEM=45°，
∴∠HEM=∠NEM，
在△EMH和△EMN中，

EH=EN ∠HEM=∠NEM EM=EM

，
∴△EMH≌△EMN（SAS），
∴MH=MN，
∴CH=MH-CM=MN-CM，
∴AC=AH+CH=CN+MN-CM，
∴CN+MN-CM=

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CE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．