Question

已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：
（1）四边形AFBE是矩形；
（2）BC=2MN．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由BF、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；
（2）由矩形的性质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得MF∥BC，进而可得△AMN∽△ABC，那么BC=2MN．

解答：证明：（1）∵BF、BE分别是△ABC中∠B及它的外角的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四边形AEBF为矩形；

（2）∵四边形AEBF为矩形，
∴BM=MA=MF，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴MF∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M是AB的中点，
∴

AM

AB

=

MN

BC

=

1

2

（或MN为△ABC的中位线）
∴MN=

1

2

BC，
BC=2MN．

点评：综合考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；用到的知识点为：有3个角是直角的四边形是矩形；矩形的对角线平分且相等；相似三角形的对应边成比例．