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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90?，AD=10，CD=4，BC=6，E是BC的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设动点P运动的时间为t秒．
    （1）求线段AB的长；
    （2）当△PBE与△DCE相似时，求t的值；
    （3）如图2，连接PD，以PD所在直线为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，若点C′落在线段AD上，则t的值为
    10
    10
    （直接写出答案即可）．
    分析：（1）作DF⊥AB于F，根据已知条件可以得出四边形BCDF是矩形就可以得出BF=CD，再由勾股定理求出AF的值就可以得出结论；
    （2）从△PBE∽△DCE和△PBE∽△ECD两种情况进行讨论根据相似三角形的性质就可以得出结论求出t的值；
    （3）如图4，根据轴对称的性质先求出AC′的值，再由三角函数值求出GC′，AG的值，再证明△AC′G∽△PB′G，由相似三角形的性质就可以求出PG的值，从而求出AP的值就可以求出t的值．
    解答：解：（1）如图1，作DF⊥AB于F，
    ∴∠AFD=∠BFD=90°．
    ∵AB∥CD，∠B=90°，
    ∴∠C=90°，
    ∴四边形BCDF是矩形，
    ∴BF=CD，DF=BC．
    ∵CD=4，BC=6，
    ∴BF=4，DF=6．
    在Rt△AFD中，由勾股定理，得
    AF=
    		100-36
    =8．
    ∴AB=4+8=12．
    （2）如图2，当P运动t秒时，△PBE∽△DCE
    ∴
    PB
    DC
    =
    BE
    CE
    ．
    ∵AP=t，
    ∴BP=12-t．
    ∵E是BC的中点，
    ∴CE=BE=3．
    ∴
    12-t
    4
    =
    3
    3
    ，
    ∴t=8；
    如图3，当P运动t秒时，△PBE∽△ECD，
    ∴
    PB
    EC
    =
    BE
    CD

    ∴
    12-t
    3
    =
    3
    4
    ，
    ∴t=
    39
    4
    ．
    ∴t的值为8或
    39
    4
    ；
    （3）如图4，作CB关于PD的轴对称图形C′B′交AB于点G，连接PB′，
    ∴∠DC′B′=∠C=90°，∠B′=∠B=90°，C′D=CD=4，PB′=PB．
    ∴AC′=6，
    如图1，在Rt△AFD中，AD=10，DF=6，AF=8，
    tan∠A=
    3
    4
    ，cos∠A=
    4
    5
    ．
    在Rt△AC′G中，
    tan∠A=
    GC′
    AC′
    =
    3
    4
    ，
    ∴
    GC′
    6
    =
    3
    4
    ，
    ∴GC′=
    9
    2
    ，
    cos∠A=
    AC′
    AG
    =
    4
    5
    ，
    ∴
    6
    AG
    =
    4
    5
    ，
    ∴AG=
    15
    2
    ，
    ∴GP=t-
    15
    2
    ，PB=PB′=12-t，
    ∵△AC′G∽△PB′G，
    ∴
    AG
    PG
    =
    AC′
    PB′
    ，
    ∴
    15
    2
    t-
    15
    2
    =
    6
    12-t
    ，
    ∴t=10．
    故答案为：10．
    点评：本题考查了直角梯形的性质，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，在解答时证明三角形相似是关键，运用三角形相似的性质求线段的长是重点．
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    A、
    4
    5
    B、
    3
    5
    C、
    3
    4
    D、
    4
    3

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    6或8
    ．

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