Question

19．如图，A，C分别为x，y轴上的点，正方形OABC的边长为4，M为AB边上一点，S_梯形OAMC=7S_△CBM．
（1）求M的坐标；
（2）P为第一象限内一点，OP⊥MC交BC于点Q，且PQ=OQ，求点P的坐标；
（3）将（2）中线段PM绕坐标平面上的某点旋转180°，P、M的对应点G，H正好落在坐标轴上，求点G、H的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据S_梯形OAMC=7S_△CBM，求出S_△CBM的面积是多少；然后根据三角形的面积的求法，求出AM的值是多少，进而求出点M的坐标是多少即可；
（2）首先设OP所在的直线的解析式是y=kx，根据OP⊥MC，求出k的值是多少；然后联立OP、MC所在的直线的解析式，求出点Q的坐标是多少；最后根据PQ=OQ，求出点P的坐标是多少即可；
（3）根据题意，分两种情况：①当点G落在x轴上，点H落在y轴上时；②当点G落在y轴上，点H落在x轴上时；然后根据GH所在的直线的斜率=PM所在直线的斜率，PG所在直线的斜率=MH所在直线的斜率，求出点G、H的坐标各是多少即可．

解答 解：（1）∵S_梯形OAMC=7S_△CBM，
∴S_△CBM=${S}_{正方形OABC}×\frac{1}{1+7}$
=$4×4×\frac{1}{8}$
=2
即（AB-AM）×BC÷2=2，
∴（4-AM）×4÷2=2，
解得AM=3，
∴点M的坐标是（4，3）．

（2）设OP所在的直线的解析式是y=kx，
∵OP⊥MC，
∴$\frac{3-4}{4-0}$×k=-1，
解得k=-4，
∴OP所在的直线的解析式是y=4x，
BC所在的直线的解析式是y=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{y=4}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，
即点Q的坐标是（1，4）；
设点P的坐标是（a，4a），
∵PQ=OQ，
∴PQ²=OQ²，
即（a-1）²+（4a-4）²=1²+4²，
整理，可得
17（a-1）²=17，
解得a=2或a=0，
∵P为第一象限内一点，
∴a=0不符合题意，
∴a=2，
∴点P的坐标是（2，8）．

（3）①当点G落在x轴上，点H落在y轴上时，
设点G的坐标是（a，0），点H的坐标是（0，b），
则GH所在的直线的斜率是：
$\frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}$，
∵P（2，8），M（4，3），
∴PM所在直线的斜率是：
k=$\frac{8-3}{2-4}=-\frac{5}{2}$，
∴$-\frac{b}{a}=-\frac{5}{2}$，
解得b=$\frac{5}{2}a$…①；
∵PG所在直线的斜率=MH所在直线的斜率，
∴$\frac{8-0}{2-a}=\frac{b-3}{0-4}$，
解得b=$\frac{3a+26}{a-2}$…②；
由①②，解得
$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{26}{5}}\\{b=13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{26}{5}，0$）、H（0，13）或G（-2，0）、H（0，-5）．
②当点G落在y轴上，点H落在x轴上时，
设点G的坐标是（0，m），点H的坐标是（n，0），
则GH所在的直线的斜率是：
$\frac{m-0}{0-n}=-\frac{m}{n}$，
∵P（2，8），M（4，3），
∴PM所在直线的斜率是：
k=$\frac{8-3}{2-4}=-\frac{5}{2}$，
∴$-\frac{m}{n}=-\frac{5}{2}$，
解得m=$\frac{5}{2}n$…①；
∵PG所在直线的斜率=MH所在直线的斜率，
∴$\frac{m-8}{0-2}=\frac{0-3}{n-4}$，
解得m=$\frac{8n-26}{n-4}$…②；
由①②，解得
$\left\{\begin{array}{l}{m=13}\\{n=\frac{26}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴G（0，13）、H（$\frac{26}{5}$，0）或G（0，5）、H（2，0）．
综上，可得G（$\frac{26}{5}，0$）、H（0，13）；G（-2，0）、H（0，-5）；G（0，13）、H（$\frac{26}{5}$，0）或G（0，5）、H（2，0）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；
（2）此题还考查了正方形的性质和三角形的面积的求法，以及直线的解析式的求法，要熟练掌握．