Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°

(1)若BD＝2，CE＝4，则DE＝_____.

(2)若∠AEB＝75°，则线段BD与CE的数量关系是______.

Answer 1

【答案】2 CE＝BD

【解析】

(1)将△ABD绕点A逆时针旋转90°，至△ACD'，则AB与AC重合，连接ED'，则CD'＝BD＝2，∠CAD'＝∠BAD，AD'＝AD，∠DAD'＝90°，∠ACD'＝∠ABD，证明△AD'E≌△ADE(SAS)，得出D'E＝DE，由等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠ACB＝45°，得出∠D'CE＝90°，在Rt△CD'E中，由勾股定理得出D'E＝，即可得出答案；

(2)由(1)得出∠D'CE＝90°，△AD'E≌△ADE，由全等三角形的性质得出D'E＝DE，∠AED'＝∠AEB＝75°，求出∠CED'＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论.

(1)将△ABD绕点A逆时针旋转90°，至△ACD'，则AB与AC重合，连接ED'，如图所示：

则CD'＝BD＝2，∠CAD'＝∠BAD，AD'＝AD，∠DAD'＝90°，∠ACD'＝∠ABD，

∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，

∴∠D'AE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE，

在△AD'E和△ADE中，，

∴△AD'E≌△ADE(SAS)，

∴D'E＝DE，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠D'CE＝45°+45°＝90°，

在Rt△CD'E中，由勾股定理得：D'E＝＝＝2，

∴DE＝2；

故答案为：2；

(2)CE＝BD，理由如下：

由(1)得：∠D'CE＝90°，△AD'E≌△ADE，

∴D'E＝DE，∠AED'＝∠AEB＝75°，

∴∠CED'＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∴CE＝CD'，

∴CE＝BD，

故答案为：CE＝BD.