Question

【题目】如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．

（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；

（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；

（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．

Answer 1

【答案】（1）∠POA=90°，x=；（2）当直线PQ与⊙O相切时时，此时x的值为﹣32.5；（3）满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．

【解析】（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；

（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小．

（3）由于P是优弧上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．

（1）如图1中，

由=13π，

解得n=90°，

∴∠POQ=90°，

∵PQ∥OB，

∴∠PQO=∠BOQ，

∴tan∠PQO=tan∠QOB=，

∴OQ=，

∴x=；

（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小．

在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，

此时x的值为﹣32.5；

（3）分三种情况：

①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k．

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，

整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，

解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），

∴OQ=5k=31.5．

此时x的值为31.5．

②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=4k，QH=3k．

在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，

整理得：k2+3k﹣20.79=0，

解得k=﹣6.3（舍弃）或3.3，

∴OQ=5k=16.5，

此时x的值为﹣16.5．

③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，AH=3k．

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，

整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，

解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），

∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃．

此时x的值为﹣31.5．

综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．