Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-

2

3

），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用顶点式得出y=a（x-4）²-

2

3

进而求出a的值，进而利用y=0，求出A，B点坐标即可；
（2）根据A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，则AP+CP=BC的值最小，进而利用勾股定理得出AP+CP的最小值．

解答：解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4）²-

2

3

（a≠0），
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0-4）²-

2

3

=2
解得：a=

1

6

∴y=

1

6

（x-4）²-

2

3

，
即：y=

1

6

x²-

4

3

x+2，
当y=0时，

1

6

x²-

4

3

x+2=0
解得：x=2或x=6，
∴A（2，0），B（6，0）；

（2）存在，
如图，由（1）知：抛物线的对称轴l为直线x=4，
因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，
所以AP+CP=BC的值最小，
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2

10

，
∴AP+CP=BC=2

10

∴AP+CP的最小值为2

10

．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最小值问题，正确利用轴对称得出P点位置是解题关键．