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    2．如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于C点，顶点为D．
    （1）求A、B两点的坐标；
    （2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，交抛物线于点F．设P的横坐标为m．
    ①用含m的代数式表示线段PF的长；
    ②当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形，请说明理由
    ③当m为何值时，△PCF为直角三角形，直接写出结论．

    分析 （1）令抛物线解析式中y=0，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
    （2）①令抛物线解析式中x=0求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论；
    ②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段DE的长度，再根据平行四边形的性质可得出DE=PF，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；
    ③由PF⊥x轴可得出若要△PCF为直角三角形，则∠CFP=90°或∠PCF=90°．当∠CFP=90°时，可得出点C、F关于对称轴对称，根据点C的坐标以及抛物线对称轴的解析式即可得出m值；当∠PCF=90°时结合点B、C的坐标可得出△PCF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．综上即可得出结论．

    解答 解：（1）令y=-x2+2x+3中y=0，
    则有-x2+2x+3=（3-x）（x+1）=0，
    解得：x1=-1，x2=3，
    ∵点A在点B的左侧，
    ∴点A（-1，0），点B（3，0）．
    （2）①令y=-x2+2x+3中x=0，则y=3，
    ∴点C（0，3）．
    设直线BC的解析式为y=kx+b，
    将点B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
    得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
    ∴直线BC的解析式为y=-x+3．
    ∵点P的横坐标为m，PF⊥x轴，
    ∴点P（m，-m+3），F（m，-m2+2m+3），
    ∴PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m（0≤m≤3）．
    ②∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
    ∴抛物线的对称轴为x=1，顶点D（1，4），
    将x=1代入y=-x+3中，得：y=2，
    ∴点E（1，2），
    ∴DE=4-2=2．
    ∵四边形PEDF为平行四边形，
    ∴DE=PF，即2=-m2+3m，
    解得：m1=1（舍去），m2=2，
    ∴当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
    ③∵PF⊥x轴，
    ∴∠CPF＜90°，
    若要△PCF为直角三角形，则∠CFP=90°或∠PCF=90°．
    （i）当∠CFP=90°时，
    ∵PF⊥x轴，∠CFP=90°，
    ∴CF∥x轴，
    ∴点C、F关于对称轴对称，
    ∵点C（0，3），抛物线对称轴为x=1，
    ∴m=2；
    （ii）当∠PCF=90°时，
    ∵点B（3，0），点C（0，3），∠PCF=90°，
    ∴∠CPF=∠OCB=45°，
    ∴△PCF为等腰直角三角形，
    ∴PF=$\sqrt{2}$CP=-m2+3m=2m，
    解得：m=1或m=0（舍去）．
    综上所述：当m为1或2时，△PCF为直角三角形．

    点评 本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）解关于x的一元二次方程；（2）①求出直线BC的解析式；②根据平行四边形的性质找出关于m的一元二次方程；③根据二次函数的对称性（等腰直角三角形的性质）解决问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次（或二次）函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．

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