【题目】在正方形AMFN中,以AM为BC边上的高作等边三角形ABC,将AB绕点A逆时针旋转90°至点D,D点恰好落在NF上,连接BD,AC与BD交于点E,连接CD.
(1)如图1,求证:△AMC≌△AND;
(2)如图1,若DF=,求AE的长;
(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转(),点C,F的对应点分别为、.连接、,点G是的中点,连接AG.试探索是否为定值,若是定值,则求出该值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)AE=;(3)(3),理由见解析.
【解析】
(1)运用四边形AMFN是正方形得到判断△AMC,△AND是Rt△,进一步说明△ABC是等边三角形,在结合旋转的性质,即可证明.
(2)过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H,连接DH,使BH=HD,设AG=,则AE= GE=,得到△GBE是等腰直角三角形和∠DHF=30°,再结合直角三角形的性质,判定Rt△AMC≌Rt△AND,最后通过计算求得AE的长;
(3)延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得,可得≌,从而得到 ,可知∥,再根据题意证明≌,进一步说明是等腰直角三角形,然后再使用勾股定理求解即可.
(1)证明:∵四边形AMFN是正方形,
∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°
∴△AMC,△AND是Rt△
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∵旋转后AB=AD
∴AC=AD
∴Rt△AMC≌Rt△AND(HL)
(2)过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H,连接DH,使BH=HD,
设AG=
则AE= GE=
易得△GBE是等腰直角三角形
∴BG=EG=
∴AB=BC=
易得∠DHF=30°
∴HD=2DF= HF=
∴BF=BH+HF=
∵Rt△AMC≌Rt△AND(HL)
∴易得CF=DF=
∴BC=BF-CF=
∴
∴
∴AE=
(3);
理由:如图2中,延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得,则≌,
∴ ,
∴∥,
∴
∵
∴
∴,
∵
∴≌(SAS)
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
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【题目】江津区某玩具商城在“六一”儿童节来临之际,以49元/个的价格购进某种玩具进行销售,并预计当售价为50元/个时,每天能售出50个玩具,且在一定范围内,当每个玩具的售价平均每提高0.5元时,每天就会少售出3个玩具。
(1)若玩具售价不超过60元/个,每天售出玩具总成本不高于686元,预计每个玩具售价的取值范围;
(2)在实际销售中,玩具城以(1)中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础,进一步调整了销售方案,将每个玩具的售价提高了%,从而每天的销售量降低了%,当每天的销售利润为147元时,求a的值.
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【题目】如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是( )
A. (6,0) B. (6,3) C. (6,5) D. (4,2)
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A(-4,n),B(2,-4)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)根据图象直接写出关于x的方程的解及不等式的解集.
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【题目】如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=a 时,P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示).
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【题目】定义运算ab=a(1-b),下面给出了关于这种运算的四个结论:
①2(-2)=6 ②ab=ba
③若a+b=0,则(aa)+(bb)=2ab ④若ab=0,则a=0.
其中正确结论的序号是 (填上你认为所有正确结论的序号).
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【题目】已知a是最大的负整数,b是﹣5的相反数,c=﹣|﹣3|,且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数.
(1)求a、b、c的值;
(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动,动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动,点P的速度是每秒3个单位长度,点Q的速度是每秒1个单位长度,求运动几秒后,点P可以追上点Q?
(3)在(2)的条件下,P、Q出发的同时,动点M从点C出发沿数轴正方向运动,速度为每秒6个单位长度,点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动,追上后点M再运动几秒,M到Q的距离等于M到P距离的两倍?
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【题目】如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2 cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?点P和点Q的距离是10cm.
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