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18.问题探究:
(1)已知:如图1,在正方形ABCD中,点E、H分别在BC、AB上,若AE⊥DH于点O,求证AE=DH;
类比探究:
(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;
拓展应用:
(3)已知,如图3,在(2)问条件下,若BC=4,E为BC的中点,AF=$\frac{1}{4}$AD,求HG的长

分析 (1)由正方形的性质得AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.所以∠HAO+∠OAD=90°,又知∠ADO+∠OAD=90°,所以∠HAO=∠ADO,于是△ABE≌△DAH,可得AE=DH;
(2)将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF,将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH.根据(1)的结论得AM=DN,所以EF=GH;
(3)过点F作FP⊥BC于点P,利用勾股定理得出EF的长,进而得出HG的长.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.
∴∠HAO+∠OAD=90°.
∵AE⊥DH,
∴∠ADO+∠OAD=90°.
∴∠HAO=∠ADO,
在△ABE和△DAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAO=∠DAH}\\{AB=AD}\\{∠B=∠HAD}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△DAH(ASA),
∴AE=DH.

(2)解:EF=GH.
理由:如图2,将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF.
将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH.

∵EF⊥GH,
∴AM⊥DN,
根据(1)的结论得AM=DN,
所以EF=GH;

(3)解:如图3,

过点F作FP⊥BC于点P,
∵四边形ABCD是正方形,BC=4,
∴AD=BC=AB=FP=4,
∵E为BC的中点,AF=$\frac{1}{4}$AD,
∴BE=2,AF=1,
∴PE=2-1=1,
在Rt△FPE中,EF=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$,
由(2)得:HG=EF,
∴HG=$\sqrt{17}$.

点评 本题考查了四边形综合以及三角形的综合知识,用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强,难度较大.

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