Question

已知，如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙0，D是BC上的点，且有弧AC=弧CD，连CD、BD，在BD延长线上取一点E，使∠DCE=∠CBD．
（1）求证：CE是⊙0的切线；
（2）若CD=2

5

，DE和CE的长度的比为

1

2

，求⊙O半径．

Answer 1

分析：（1）连接OC，AD，由弧AC=弧CD，得到OC⊥AD，∠ADC=∠DBC，而∠DCE=∠CBD，则∠DCE=∠ADC，从而得到CE∥AD，OC⊥CE
（2）先通过CE∥AD，得到∠E=90°，即四边形CEDF是矩形．先在Rt△CED中，设DE=x，则CE=2x，求出DE=2，CE=4；再在Rt△OAF中，利用勾股定理即可求出圆的半径．

解答：（1）证明：连接OC，AD，
∵

AC

=

CD

，
∴OC⊥AD，∠ADC=∠DBC，
而∠DCE=∠CBD，则∠DCE=∠ADC，
∴CE∥AD，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：设AD交OC于点F，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
由CE∥AD，
∴∠E=90°，
∵

AC

=

CD

，
∴OC⊥AD，AF=DF，
在Rt△CED中，设DE=x，则CE=2x，而CD=2

5

，
根据勾股定理得：x2+(2x)2=(2

5

)2，
解得：x=2，
∴DE=2，CE=4，
∵∠E=∠OCD=∠ADE=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴AF=DF=CE=4，CF=DE=2，
在Rt△OAF中，设OA=r，根据勾股定理得r²=4²+（x-2）²
∴r=5．
答：所求的半径为5．

点评：本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了垂径定理、勾股定理和矩形的性质．