Question

如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=ax²+bx+2的图象经过点A、B，顶点为D，对称轴为x=3
（1）求这个二次函数的解析；
（2）设二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交另一点C，则二次函数图象上是否存在点P（m，n）（其中1＜m＜5）使四边形PABC的面积最大？若存在，求出点P的坐标和四边形PABC面积最大值；若不存在，请说明理由；
（3）已知Q为x轴上一点（异与A点），当以Q，B，O三点为顶点的三角形与△OAB相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，点B的坐标是（0，2）
∴OB=2
∵tan∠OAB==2，
∴OA=1，点A（1，0）
∴0=a+b+2，b=-6a；
∴a=0.4，b=-2.4
∴所求解析式是y=0.4x²-2.4x+2；

（2）由（1）题得：顶点D（3，-1.6），点C（5，0）
∴S_△ABC=4，
∴当△PAC面积最大时，四边形PABC的面积取最大值；
∵S_△PAC不大于S_△DAC，
∴当P（3，-1.6）时，四边形PABC的面积取最大值7.2；

（3）当以Q，B，O三点为顶点的三角形与△OAB相似时
需满足：或
当时，OQ=OA=1，
∴Q（-1，0）或Q（1，0）（舍去）
当时，OQ=4，
∴Q（-4，0）或Q（4，0）
综上：∴Q（-1，0）或Q（-4，0）或Q（4，0）．
分析：（1）根据抛物线的解析式可得出C（0，2），即OB=2，在直角三角形OAB中，根据OB的长和∠OAB的正切值，即可求出OA的长，然后将A点坐标和对称轴解析式代入抛物线中即可求出待定系数的值．
（2）先根据抛物线的解析式求出C点坐标，由于△ABC的面积为定值，因此△PAC的面积最大时，四边形PABC的面积最大，此时P点为抛物线的顶点，据此可求出P的坐标和四边形的面积．
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①△QBO∽△ABO，此时两三角形全等，OQ=OA=1，由此可得出Q点的坐标．
②△QBO∽△BAO，可得出，由此可求出OQ的长，即可得出Q点的坐标．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等知识点．（3）题在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类进行求解，不要漏解．