Question

如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB到点G，使BG=AB，连结GO交BC于点E，延长GO交AD于点F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连结CG，若AE=3cm，延长AE交线段CG于点M，求AM的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵BG=AB，AC=2AB，O为AC中点，
∴AO=CO=AB，AC=AG，
在△AOG和△ABC中，，
∴△AOG≌△ABC（SAS），
∴∠ABC=∠AOG=90°，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；

（2）在Rt△ABC中，由AB=AC可推出∠ACB=30°，
由菱形可得EA=EC，
∴∠EAO=30°，
∵AE=3cm，
∴OE=AE=cm，AO===cm，
AC=2AO=3cm，
延长AE交CG于点M，∵AC=AG且∠CAE=∠GAE=30°，
∴AM⊥CG，
∴CM=AC=cm，
∴AM===cm．
分析：（1）根据中点定义可得AC=2AO，然后求出AO=AB，AC=AG，再利用“边角边”证明△AOG和△ABC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠AOG=90°，再利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CE，然后求出四边形AECF为平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明；
（2）先求出∠ACB=30°，再根据菱形的性质EA=EC，然后根据等边对等角求出∠EAO=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OE，再利用勾股定理列式计算求出AO，从而得到AC的长度，然后求出∠CAE=∠GAE=30°，根据等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CM，再利用勾股定理列式计算即可求出AM．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟记各图形的性质与判定方法找出三角形全等的条件是解题的关键．