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3.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60°,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为EF=BE+DF.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系,为什么?
(3)如图3,点A在点O的北偏西30°处,点B在点O的南偏东70°处,且AO=BO,点A沿正东方向移动249米到达E处,点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处,从点O观测到E、F之间的夹角为70°,根据(2)的结论求E、F之间的距离.

分析 (1)根据全等三角形对应边相等解答;
(2)延长FD到G,使DG=BE,连接AG,根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG,然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,∠BAE=∠DAG,再求出∠EAF=∠GAF,然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,然后求解即可;
(3)连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后求出∠EAF=$\frac{1}{2}$∠AOB,判断出符合探索延伸的条件,再根据探索延伸的结论解答即可.

解答 解:(1)EF=BE+DF;
证明:如图1,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
在△ABE和△ADG中,
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
故答案为:EF=BE+DF;

(2)EF=BE+DF仍然成立.
证明:如图2,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中,
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;

(3)如图3,连接EF,延长AE、BF相交于点C,
∵∠AOB=20°+90°+(90°-60°)=140°,
∠EOF=70°,
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB,
又∵OA=OB,
∠OAC+∠OBC=(90°-20°)+(60°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的条件,
∴结论EF=AE+BF成立,
即EF=583米.

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质,读懂问题背景的求解思路,作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键,也是本题的难点.

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