Question

17．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，点P是y轴上的动点，当以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形时点M的坐标为（-3，-3）或（-1，1）或（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 分四种情况考虑：当M运动到（-1，1）时，ON=1，MN=1，由MN⊥x轴，以及ON=MN；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN时；若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此时M坐标；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此时M坐标，综上，得到所有满足题意M的坐标．

解答 解：如图1，
当M运动到（-1，1）时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，△MNP为等腰直角三角形；
如图2，当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，
设点M（x，2x+3），则有：-x=-（2x+3），
解得：x=-3，
所以点M坐标为（-3，-3）．
若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），
则有-x=-$\frac{1}{2}$（2x+3），化简得-2x=-2x-3，
这方程无解，所以这时不存在符合条件的M点；
如图2，∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP=$\frac{1}{2}$M′N′，
∴有-x=$\frac{1}{2}$（2x+3），
解得：x=-$\frac{3}{4}$，
∴M′（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），
综上，符合条件的点M坐标是（-3，-3），（-1，1），（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．
故答案为：（-3，-3）或（-1，1）或（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 此题主要考查了一次函数综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．