Question

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax+b经过A（-2，0），C（2，8）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．点E坐标为（0，-2），点P是线段BO上的一个动点，从点B开始以1个单位每秒的速度沿BO向终点O运动；

（1）求此抛物线的解析式；
（2）设运动时间为t秒，直线PE扫过四边形ABCD的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）能否将△OEB绕平面内某点旋转90°后使得△OEB的两个顶点落在抛物线上？若能，请直接写出旋转中心的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∵过点A（-2，0），C（2，8），
∴
解得．
故此抛物线的解析式为y=-x²+2x+8；

（2）由抛物线的解析式为y=-x²+2x+8可得B（4，0），
∵P（4-t，0），E（0，-2），
设一次函数EP的解析式为y=kx+b，将P（4-t，0），E（0，-2）分别代入解析式得，
，
解得，，
一次函数解析式为y=x-2．
设BC的解析式为y=ax+c，
将C（2，8），B（4，0）代入解析式得，
，
解得，
函数解析式为y=-4x+16．
将y=-4x+16和y=x-2组成方程组得，
，
解得，
S=×（4-t）×=．


（3）分为3种情况，①旋转后OE在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BE在抛物线上．
1、旋转后OE在抛物线上：
设为O′E′，则O′E′平行于x轴，抛物线y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，对称轴x=1，
则x₁=1-|OE|=1-1=0，x₂=1+1=2．
则两点为（0，8）、（2，8）．
这时分别：①O′（0，8）、E′（2，8）；
②E′（0，8）、O′（2，8）．
然后分两种情况分别作OO'，EE'的中垂线，其交点即为其旋转中心．
∵OO′的解析式为y=4，易得，EE′的解析式为y=5x-2，则EE′的中点坐标为（1，3），
其中垂线解析式为y=-x+b，将（1，3）代入解析式得，b=，
则解析式为y=-x+，当y=4时，x=-4．
旋转中心坐标为（-4，4）．
2、旋转后OB在抛物线上：
OB∥y轴，则O′B′∥x轴，但抛物线y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，不成立．
3、旋转后BE在抛物线上：
BE边旋转90°后所得线段B'E'与BE垂直，直线斜率k_BE=，则k_B'E'=-2．
设旋转后B'E'所在直线方程为：y=-2x+m．
抛物线：y=-x²+2x+8，联立，解方程，得：
（x，y）=（2+，m-4-2） 或 （x，y）=（2-，m-4+2）
此为两交点坐标，求距离使其等于|BE|==2．有：
|BE|==，从而有m=11，
两点坐标：（3，5），（1，9）．
然后分1）B′（3，5），E′（1，9）；2）E′（3，5），B′（1，9）两种情况，
分别作BB′与EE′的垂直平分线，两者交点即为其旋转中心．
综上，同1中解法，共有4种可能性，4个旋转中心，（-4，4）（5，3）（6，3）（-2，3）．
分析：（1）将原式配方，再将A（-2，0），C（2，8）代入解析式即可求出a、b的值，从而得到函数的解析式；
（2）将扫过的面积转化为△PEB和△PFB两个三角形的面积之和来表示，用含t的代数式表示出BP的长，表示出P点坐标，求出直线PE的表达式，再求出直线BC的解析式，将二者组成方程组，求出F的纵坐标，即可表示出△PFB的面积表达式；易得，△BPE的表达式，将二者相加即可．
（3）分为3种情况，①旋转后OE在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BE在抛物线上解答．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求一次函数解析式，抛物线的性质、方程组的解法等知识，综合性极强，难度较大．