分析 (1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可;
(2)首先表示出P,F点坐标,再利用两点之间距离公式得出PD,PF的长,进而求出即可;
(3)过E作EF⊥x轴,交抛物线于点P,求得C△PDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+(PE+PF),当P、E、F三点共线时,PE+PF最小;当P与A重合时,PE+PF最大;即可解答.
解答 解:(1)∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,
∴C(0,8),A(-8,0),
设抛物线解析式为:y=ax2+c,
则$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{64a+c=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{c=8}\end{array}\right.$
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}{x^2}+8$.
(2)设P(x,-$\frac{1}{8}$x2+8),则F(x,8),
则PF=8-(-$\frac{1}{8}$x2+8)=$\frac{1}{8}$x2.
PD2=x2+[6-(-$\frac{1}{8}$x2+8)]2=$\frac{1}{64}{x^4}+\frac{1}{2}{x^2}+4={(\frac{1}{8}{x^2}+2)^2}$
∴PD=$\frac{1}{8}{x^2}+2$,
∴d=|PD-PF|=$|{\frac{1}{8}{x^2}+2-\frac{1}{8}{x^2}}|$=2
∴d=|PD-PF|为定值2;
(3)如图,过点E作EF⊥x轴,交抛物线于点P,
由d=|PD-PF|为定值2,
得C△PDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+(PE+PF),
又∵D(0,6),E(-4,0)
∴$DE=\sqrt{{6^2}+{4^2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
∴${C_{△PDE}}=2\sqrt{13}+2+(PE+PF)$,
当PE和PF在同一直线时PE+PF最小,
得C△PDE最小值$2\sqrt{13}+2+8=2\sqrt{13}+10$.
设P为抛物线AC上异于点A的任意一点,过P作PM∥x轴,交AB于点M,连接ME,如图2.
由于E是AO的中点,易证得ME≥PE(当点P接近点A时,在△PME中,显然∠MPE是钝角,故ME≥PE,与A重合时,等号成立),而ME≤AE+AM,
所以PE≤AE+AM.
所以当P与A重合时,PE+PF最大,
AE=8-4=4,PD=$\sqrt{A{O}^{2}+D{O}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10.
得C△PDE最大值=2$\sqrt{13}$+4+10=$2\sqrt{13}+14$.
∴$2\sqrt{13}+10≤{C_{△PDE}}≤2\sqrt{13}+14$.
点评 此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识,利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
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