Question

如图1，在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为-1,直线α：y=-x-与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(4，1) ，⊙B与x轴相切于点M。

（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2） ⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线α绕点A顺时针匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时，直线α也恰好与⊙B第一次相切。问：直线AC绕点A每秒旋转多少度?
（3）如图2，过A，O，C三点作⊙O₁ ，点E是劣弧上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧上运动时(不与A，O两点重合)，的值是否发生变化？如果不变，求其值,如果变化，说明理由。

Answer 1

解：（1）A（-，0）
∵C（0，-），  
∴OA=OC。
∵OA⊥OC                
∴∠CAO=45^。
（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，此时，直线α旋转到α₁恰好与⊙B₁第一次相切于点P， ⊙B₁与x轴相切于点N，
连接B₁O，B₁N，则MN=t，OB₁=，B₁N⊥AN       
∴MN=3 即t=3
连接B₁A，B₁P，则B₁P⊥AP，B₁P = B₁N    
∴∠PAB₁=∠NAB₁ 
∵OA= OB₁=           
∴∠A B₁O=∠NAB₁    
∴∠PAB₁ =∠AB₁O    
∴PA∥B₁O 
在Rt⊿NOB₁中,∠B₁ON=45^。，
∴∠PAN=45^。，
∴∠1= 90^。  
∴直线AC绕点A平均每秒30^。

（3）的值不变，等于，如图在CE上截取CK=EA，连接OK，
∵∠OAE=∠OCK，OA=OC
∴⊿OAE≌⊿OCK
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC       
∴∠EOK=∠AOC= 90^。
∴EK=EO                
∴=