Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2cm，AB＝8cm，CD＝10cm．
(1)求梯形ABCD的周长；
(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) 28cm(2) 当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形

解：（1）过点D作DE⊥BC于点E
∵四边形ABCD是直角梯形
∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8
在Rt△DEC中，CE==="6"
∴梯形ABCD的周长= AB+BC+CD+DA=8+8+10+2=28cm.
………3分
（2） ① 当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G
则AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，
∵Rt△CQF∽Rt△CDE
∴CF=，QF=，∴PG==，QG=8－
=（8－t）²+2²=t²－16t+68，
PQ²=QG²+PG²=（8－）²+（）²= 
若DQ=PD，则（10－t）²= t²－16t+68，解得：t=8；…………………5分
若DQ=PQ，则（10－t）²=，       
解得：t₁= ，t₂=＞8（舍去），此时t=；………6分
②当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t，                
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立； ……………………7分
③当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；………………………8分
④当10＜t≤12时，PD="DQ=" t－10，
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；     ………………………9分
综上所述，当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形.                ………………………10分
（1）过点D作DE⊥BC于点E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根据CE= 求出CE，即可求出BC的长，从而求得梯形ABCD的周长
（2）（i）当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G，过点Q作QF⊥CB于点F，根据△CQF∽△CDE得出，所以CF= ，QF= ，所以PG=t= ，QG=8-，然后分别用t表示出PD²=t²-16t+68，PQ²=+64，若DQ=PD，则（10-t）²=t²-16t+68，若DQ=PQ，则（10-t）²=+64，最后解方程即可；
（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10-t，此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形，当10＜t≤12时，PD="DQ=" t－10，此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立，从而得出最后答案；