Question

【题目】已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）（﹣，） （3）存在，P（﹣2，3）或P（，）

【解析】

（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则F（t，t+3），则PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根据S△PAB＝S△PAF+S△PBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由对称轴为直线x＝﹣1，PE∥x轴交抛物线于点E，得yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t；②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）

∴ 解得：

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3

（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F

∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3

∴A（0，3）

∴直线AB解析式为y＝x+3

∵点P在线段AB上方抛物线上

∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）

∴F（t，t+3）

∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t

∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PFOH+PFBH＝PFOB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+

∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大

（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形

设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）

∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t

∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4

∴对称轴为直线x＝﹣1

∵PE∥x轴交抛物线于点E

∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称

∴＝﹣1

∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t

∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|

∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°

∴PD＝PE

①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t

∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t

解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2

∴P（﹣2，3）

②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t

∴﹣t2﹣3t＝2+2t

解得：t1＝，t2＝（舍去）

∴P（，）

综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．