Question

【题目】（知识背景）我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．

（应用举例）

观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；

可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，

当勾为3时，股，弦；

当勾为5时，股，弦；

当勾为7时，股，弦．

请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：

（1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　．

（问题解决）

（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果，，为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；

（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少．

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）；．

【解析】

（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦；

（2）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案；

（3）根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案．

解：（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦；

故答案为：，；

（2），，表示大于1的整数）

，

、、为勾股数；

（3）弦与股的差为1，为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，

另外两个数的表达式分别是；．