Question

1．△ABC在平面直角坐标系中的位置，如图所示，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），关于x的二次函数y=x²+bx+c的图象过点A、B、C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标？若不存在，请说明理由；
（3）有一个动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动，另一动点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何位置时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）先求出点B的坐标，从而求出BC，再分三种情况：PB=PC，PB=BC，PC=BC计算即可；
（3）先求出S_△MNB=$\frac{1}{2}$（2-t）×2t=-（t-1）²+1，根据函数的性质求出极值．

解答 解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=ax²+bx+c中，得 $\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=x²-4x+3．　
（2）令y=0，即x²-4x+3=0．
∴x₁=1，x₂=3，
∴B（3，0）． 
∴BC=3$\sqrt{2}$． 
∵点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：
如图1，

①当CP=CB时，PC=3$\sqrt{2}$，
∴OP=OC+PC=3+3$\sqrt{2}$或OP=PC-OC=3$\sqrt{2}$-3．
∴P₁（0，3+3$\sqrt{2}$），P₂（0，3-3$\sqrt{2}$）．
②当PB=BC时，OP=OC=3，
∴P₃（-3，0）． 
③当PB=PC时，
∵OC=OB=3，
∴此时点P与点O重合．
∴P₄（0，0）．
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3$\sqrt{2}$）或（0，3-3$\sqrt{2}$）或（-3，0）或（0，0）．
（3）如图2，

设AM=t，则DN=2t．由AB=2，得BM=2-t．
∴S_△MNB=$\frac{1}{2}$（2-t）×2t=-（t-1）²+1．
∵a=-1＜0，
∴当t=1时，S_△MNB有最大值为1．  
即当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴的上方2个单位处或x轴的下方2个单位处．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的解析式的确定方法，抛物线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质和等腰三角形的性质，能灵活运用．