Question

18．解方程：2x²-x-2x$\sqrt{{x}^{2}+x-1}$+1=0．

Answer 1

分析 将原式移项后变成2x²-x+1=2x$\sqrt{{x}^{2}+x-1}$，再两边平方即可化成整式方程，整理后因式分解可得（x-1）（8x²-x+1）=0，由于8x²-x+1=8（x-$\frac{1}{16}$）²+$\frac{31}{32}$＞0，从而可得x-1=0，即x=1．

解答 解：2x²-x+1=2x$\sqrt{{x}^{2}+x-1}$，
（2x²-x+1）²=（2x$\sqrt{{x}^{2}+x-1}$）²，
（2x²-x）²+2（2x²-x）+1=4x²（x²+x-1），
4x⁴-4x³+x²+4x²-2x+1=4x⁴+4x³-4x²，
8x³-9x²+2x-1=0，
8x³-8x²-x²+2x-1=0，
8x²（x-1）-（x-1）²=0，
（x-1）（8x²-x+1）=0，
∵8x²-x+1=8（x-$\frac{1}{16}$）²+$\frac{31}{32}$＞0，
∴x=1，
经检验x=1是原方程的解．

点评 本题主要考查解无理方程的能力，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．注意用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．