Question

【题目】如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ,连接BQ,若PA=3,PB=4,PC=5,则四边形APBQ的面积为_____

Answer 1

【答案】

【解析】

连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=3，∠PAQ=60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=3，接着证明△APC≌△ABQ得到PC=QB=5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进行计算．

连结PQ，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，

∴AP=PQ=3，∠PAQ=60°，

∴△APQ为等边三角形，

∴PQ=AP=3，

∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，

∴∠CAP=∠BAQ，

在△APC和△ABQ中，

∵AC=AB，

∠CAP=∠BAQ，

AP=AQ，

∴△APC≌△ABQ（SAS），

∴PC=QB=5，

在△BPQ中，∵PB2=42=16，PQ2=32=9，BQ2=52=25，

而16+9=25，

∴PB2+PQ2=BQ2，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，

∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×3×4+×32=．

故答案为：．