Question

17．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E为AD上一动点，若AB上的点F满足EF=EC．
（1）求证△CEF为等边三角形；
（2）若点G为△CEF外心，点O为△ABC外心，求证：B、O、G三点共线．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由菱形的性质可证明△ACE≌△CDF，得出EC=FC，再证出∠ECF=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；
（2）连接GF，CG，过G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，由点G为△CEF外心，得到∠FGC=120°，通过△MFG≌△CNG，得到GM=GC，根据角平分线的判定定理得到点G在∠B的角平分线上，即可得到结论．

解答 解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=CD，
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，∠BCD=120°，△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴AC=CD，
∵BE=AF，
∴AE=DF，
在△ACE与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠BAC=∠D}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴EC=FC．∠ACE=∠DCF，
∵∠DCF+∠ACF=60°，
∴∠ACE+∠ACF=60°，
即∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形；

（2）连接GF，CG，过G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，
∵点G为△CEF外心，
∴∠FGC=120°，
∴∠B+∠FGC=180°，
∴∠BFG+∠BCG=180°，
∴∠MFG=∠GCN，
在△GMF与△GNC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GMF=∠GNC=90°}\\{∠MFG=∠CNG}\\{FG=CG}\end{array}\right.$，
∴△MFG≌△CNG，
∴GM=GC，
∴点G在∠B的角平分线上，
∵点O为△ABC外心，
∴O在∠B的角平分线上，
∴B、O、G三点共线．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，通过证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．