Question

18．如图，抛物线y=-x²+4x-3交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，连AC，点P为第四象限抛物线上一点，且∠PCB=∠ACO，求点P的坐标．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥CP于点E，根据抛物线的解析式可以得出点A、B、C的坐标，由此可得出AC的长度以及∠OCB=45°，再根据∠PCB=∠ACO即可得出∠ACE=45°，进而即可得出△ACE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出点E的坐标，根据点C、E的坐标利用待定系数法即可求出直线CE的解析式，联立直线CE与抛物线成方程组，解方程组即可得出点P的坐标．

解答 解：过点A作AE⊥CP于点E，如图所示．
设点E的坐标为（m，n）（m＞0，n＜0）．
当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）；
当y=0时，有-x²+4x-3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴OB=OC=3，OA=1，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴∠OCB=45°，
又∵∠PCB=∠ACO，
∴∠ACE=∠OCB=45°，
∴△ACE为等腰直角三角形．
∵AC=$\sqrt{10}$，
∴CE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{5}$，即$\sqrt{{m}^{2}+[n-（-3）]^{2}}$=$\sqrt{（m-3）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（1，-1）或（2，-2）．
设直线CE的解析式为y=kx-3，
将点E的坐标代入y=kx-3中，
得：-1=k-3或-2=2k-3，
解得：k=2或k=$\frac{1}{2}$，
∴直线AE的解析式为y=2x-3或y=$\frac{1}{2}$x-3，
联立直线AE和抛物线解析式成方程组，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-3}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{7}{2}}\\{{y}_{3}=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是求出直线AE的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标是关键．