Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当

OA

OB

=

1

2

时，

OP

OQ

的值为

 

；当

OA

OB

=

1

n

时，为

 

．（用含n的式子表示）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：规律型

分析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根据相似的性质得

OD

BC

=

AO

AB

，

OE

AC

=

BO

BA

，由于

OA

OB

=

1

n

，则

OD

BC

=

1

n+1

，

OE

AC

=

n

n+1

，所以

OD

OE

=

BC

n•AC

，在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°=

AC

BC

=

3

3

，即

BC

AC

=

3

，所以

OD

OE

=

3

n

；利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，则Rt△DOP∽Rt△EOQ，则

OP

OQ

=

OD

OE

=

3

n

，且当n=2时，即

OA

OB

=

1

2

时，

OP

OQ

=

3

2

．

解答：解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB=90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴

OD

BC

=

AO

AB

，

OE

AC

=

BO

BA

，
∵

OA

OB

=

1

n

，
∴

OA

AB

=

1

n+1

，

OB

AB

=

n

n+1

，
∴

OD

BC

=

1

n+1

，

OE

AC

=

n

n+1

，
∴

OD

OE

=

BC

n•AC

，
在Rt△ABC中，tanB=tan30°=

AC

BC

=

3

3

，即

BC

AC

=

3

，
∴

OD

OE

=

3

n

，
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴

OP

OQ

=

OD

OE

=

3

n

，
当n=2时，即

OA

OB

=

1

2

时，

OP

OQ

=

3

2

．
故答案为

3

2

，

3

n

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．