Question

4．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，∠PBD=∠2，DE⊥AC于点E．求证：△BPO≌△PDE．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得到∠2=∠1+∠3=∠4+∠C，可得到∠3=∠4，可证明△BPO≌△PDE．

解答 证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠1+∠3，且∠2=∠C+∠4，
∵AB=AC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴∠1=∠C=45°，
∴∠3=∠4，
在△BPO和△PDE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠POB=∠PED=90°}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意等腰三角形性质的应用是解题关键．