Question

如图，?ABCD中，点E是CD延长线上一点，BE交AD于点F，DE=

1

2

CD．
（1）求证：△ABF∽△CEB
（2）若△DEF的面积为2，求?ABCD的面积．
（3）若G、H分别为BF、AB的中点，AG、FH交于点O，求

OG

OA

．

Answer 1

分析：（1）由平行四边形的性质即可推出∠ABF=∠E，∠BAF=∠C，即可求出结论；
（2）根据平行四边形的性质很容易即可推出相互平行的边和相等的角，即可推出△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，由DE=

1

2

CD，求出

ED

EC

=

1

3

，

ED

AB

=

1

2

，然后即可推出相似三角形的面积之比，根据△DEF的面积为2，继而求出S_△BFA，S_△EBC，再根据图形求出S_梯形FDBC=16，最后计算出S_{平行四边形ABCD}=16+8=24；
（3）根据题意可知GH为△ABF的中位线，推出GH∥AF，即可推出

OG

OA

=

GH

AF

=

1

2

．

解答：（1）证明：∵?ABCD，
∴AB∥CE，AD∥BC，
∴∠ABF=∠E，
又∵ABCD是平行四边形，
∴∠BAF=∠C，
△ABF∽△CEB，

（2）解：∵∠ABF=∠E，∠AFB=∠EFD，
∴△ABF∽△DEF，
∵AD∥BC，
∴△CEB∽△DEF，
∵DE=

1

2

CD，
∴

ED

EC

=

1

3

，

ED

AB

=

1

2

，
∴

S△EFD

S△BFA

=(

ED

AB

)2=

1

4

，

S△EFD

S△EBC

=(

ED

EC

)2=

1

9

，
∵△DEF的面积为2，
∴S_△BFA=8，S_△EBC=18，
∴S_梯形FDBC=18-2=16，
∴S_{平行四边形ABCD}=16+8=24，

（3）解：∵G、H为中点，
∴GH∥AF，2GH=AF，
∴OG：OA=HG：AF=1：2．

点评：本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质等知识点，关键在于根据题意求证相关的三角形全等，运用数形结合的思想推出相关图形之间的关系．