Question

19．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm²），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S_{五边形OECQF}：S_△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=$\frac{25}{8}$，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）根据题意列方程得到t=$\frac{9}{2}$，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论；
（4）由角平分线的性质得到DM=DN=$\frac{24}{5}$，根据勾股定理得到ON=OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，由三角形的面积公式得到OP=5-$\frac{5}{8}$t，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=10，
①当AP=PO=t，如图1，
过P作PM⊥AO，
∴AM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{5}{2}$，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AD}$，
∴AP=t=$\frac{25}{8}$，
②当AP=AO=t=5，
∴当t为$\frac{25}{8}$或5时，△AOP是等腰三角形；

（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=3cm．
由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，又得∠DOP=∠BOE，
∴△DOP≌BOE，
∴BE=PD=8-t，
则S_△BOE=$\frac{1}{2}$BE•OH=$\frac{1}{2}$×3（8-t）=12-$\frac{3}{2}$t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为$\frac{DQ}{DC}$=$\frac{t}{6}$，
∴$\frac{{S}_{△DFQ}}{{S}_{△DOC}}$=$\frac{{t}^{2}}{36}$
∵S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×6×8=12cm²，
∴S_△DFQ=12×$\frac{{t}^{2}}{36}$=$\frac{{t}^{2}}{3}$
∴S_{五边形OECQF}=S_△DBC-S_△BOE-S_△DFQ=$\frac{1}{2}$×6×8-（12-$\frac{3}{2}$t）-$\frac{{t}^{2}}{3}$=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12；
∴S与t的函数关系式为S=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12；

（3）存在，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴S_{五边形OECQF}：S_△ACD=（-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12）：24=9：16，
解得t=3，或t=$\frac{3}{2}$，
∴t=3或$\frac{3}{2}$时，S五边形S_{五边形OECQF}：S_△ACD=9：16；

（4）如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=$\frac{24}{5}$，
∴ON=OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=5-$\frac{5}{8}$t，
∴PM=$\frac{18}{5}$-$\frac{5}{8}$t，
∵PD²=PM²+DM²，
∴（8-t）²=（$\frac{18}{5}$-$\frac{5}{8}$t）²+（$\frac{24}{5}$）²，
解得：t=16（不合题意，舍去），t=$\frac{112}{39}$，
∴当t=$\frac{112}{39}$时，OD平分∠COP．

点评 本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．