Question

已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S_△PBC=S_△PAC+

S_△PCD   理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．

∵ S_△PBC+S_△PAD=BC·PF+AD·PE=BC（PF+PE）=BC·EF=S_矩形ABCD

又∵ S_△PAC+S_△PCD+S_△PAD=S_矩形ABCD

∴S_△PBC+S_△PAD=S_△PAC+S_△PCD+S_△PAD．

∴ S_△PBC=S_△PAC+S_△PCD．

请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S_△PBC、S_△PAC、S_△PCD又

有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给

予证明．

 

Answer 1

【答案】

猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD； 

图3结论S△PBC=S△PAC-S△PCD（3分）

证明：如图2，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．

∵ S△PBC=BC·PF=BC·PE+BC·EF                                  

=AD·PE+BC·EF=S△PAD+S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC

=S△PAD+S矩形ABCD

∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD

如果证明图3结论可参考上面评分标准给分（12分）

【解析】分析图2，先过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，利用三角形的面积公式可知，经过化简，等量代换，可以得到S_△PBC=S_△PAD+S_矩形ABCD，而S_△PAC+S_△PCD=S_△PAD+S_矩形ABCD，故有S_△PBC=S_△PAC+S_△PCD．