精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
已知∠MAN,AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:①∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=______AC;
②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=______AC(用含α的三角函数表示),并给出证明.

【答案】分析:(1)由角平分线的性质可证∠ACB=∠ACD=30°,又由直角三角形的性质,得AB+AD=AC.
(2)根据角平分线的性质过点C分别作AM,AN的垂线,垂足分别为E,F,可证AE+AF=AC,只需证AB+AD=AE+AF即可,由△CED≌△CFB,即可得AB+AD=AE+AF.
(3)由(2)知ED=BF,AE=AF,在直角三角形AFC中,可求AB+AD=2cosAC.
解答:(1)证明:∵AC平分∠MAN,∠MAN=120°,
∴∠CAB=∠CAD=60°,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ACB=∠ACD=30°,
∴AB=AD=AC,
∴AB+AD=AC.

(2)解:成立.
证法一:如图,过点C分别作AM,AN的垂线,垂足分别为E,F,
∵AC平分∠MAN,
∴CE=CF,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠CDE=∠ABC,
∵∠CED=∠CFB=90°,
∴△CED≌△CFB,
∴ED=FB,
∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE,由(1)知AF+AE=AC,
∴AB+AD=AC,
证法二:如图,在AN上截取AG=AC,连接CG,
∵∠CAB=60°,AG=AC,∴∠AGC=60°,CG=AC=AG,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBG=180°,
∴∠CBG=∠ADC,
∴△CBG≌△CDA,
∴BG=AD,
∴AB+AD=AB+BG=AG=AC;

(3)证明:由(2)知,ED=BF,AE=AF,
在Rt△AFC中,cos∠CAF=
即cos
∴AF=ACcos
∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE=2AF=2cosAC.
把α=60°,代入得AB+AD=AC.
点评:本题综合考查了角平分线的性质,解直角三角形,以及由特殊到一般的情况.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

已知∠MAN,AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:①∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=
 
AC;
②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=
 
AC(用含α的三角函数表示),并给出证明.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知∠MAN,AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2011-2012学年湖北黄陂北片学校八年级上第一次月考数学试卷(带解析) 题型:解答题

已知∠MAN,AC平分∠MAN。

⑴在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°求证:AB+AD=AC;
⑵在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则⑴中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2013-2014学年江苏东台创新学校九年级上学期第二次阶段测试数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知∠MAN,AC平分∠MAN.

(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,我们可得结论:AB+AD=AC;

在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则上面的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

【解】

(2)在图3中:(只要填空,不需要证明).

①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=      AC;

②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=        AC(用含α的三角函数表示)。

 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2011-2012学年湖北黄陂北片学校八年级上第一次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知∠MAN,AC平分∠MAN。

⑴在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°求证:AB+AD=AC;

⑵在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则⑴中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案